人教版数学七年级上册

1.2.1 有理数的概念

新授课

有理数是一个大家族，整数和分数都是它的成员，关键看能不能"变身"成分数——能变的就是有理数。

📐 课前预习 ✋ 互动练习 🎯 先做后讲

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📋

课前预习

导学案热身

预热题 1 · 判断正误

下列说法正确的是？

预热题 2 · 有理数识别（多选）

下列哪些是有理数？

① 0.5 ② -3 ③ π ④ 0 ⑤ √2

有理数：0.5、-3、0（①、②、④）

解析：π 和 √2 是无限不循环小数，无法写成分数，不是有理数。

预热题 3 · 分类挑战（拖拽）

把 5, -2, 0, 1/3 拖入对应集合：

⬆️ 正有理数

⬇️ 负有理数

5 -2 0 1/3

正有理数：5、1/3　负有理数：-2　0 既非正也非负

💡 提示：0 是个特殊的存在！它是有理数，也是整数，但既不是正数也不是负数。

🎬

情境引入

上节课我们认识了正数和负数，发现数的范围一下子变大了。

那么：整数、分数、正数、负数……它们之间是什么关系？

有没有一个 共同的名字？

今天就来揭晓——有理数 大家族！

有理数大家族 = 整数 + 分数
正数负数分两边，0 单独站中间

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全景导图

先看全局，学习不迷路

概念解析分类方法例题精讲易错警示

📖

概念解析

2.1 整数

定义：正整数、0、负整数统称为整数。

类别	说明	举例
正整数	大于 0 的整数	1, 2, 3, …
0	既不是正数也不是负数	0
负整数	小于 0 的整数	-1, -2, -3, …

想一想 · 0 是正整数吗？

答案：0 不是正整数！0 是整数，但既不是正数也不是负数。

2.2 分数

定义：正分数和负分数统称为分数。

有限小数和无限循环小数都可以化为分数！

类别	举例
正分数	1/2, 2/3, 0.1, 5.32
负分数	-5/2, -0.5, -1/7
小数分数	0.1 = 1/10　0.5 = 1/2　0.3.. = 1/3

想一想 · 0.1 是分数吗？0.3循环呢？

答案：它们都是分数！0.1 = 1/10，0.3循环 = 1/3。有限小数和无限循环小数都可以化为分数。

2.3 有理数

定义：可以写成分数形式的数称为有理数。

类别	举例	说明
正有理数	2=2/1, 1/3, 4.3	可写成正分数形式
0	0=0/1	也是有理数
负有理数	-3=-3/1, -1/2	可写成负分数形式

整数分数是一家，写成分数就是它　正零负号分得清，有理数族全收下

想一想 · 所有整数都是有理数吗？所有小数呢？

答案：整数都能写成分数，所以整数都是有有理数。但无限不循环小数（如 π、√2）不能化成分数，不是有理数。

🔀

重难点：两种分类方法

先看清标准 → 归位 → 检查

分类一：按定义分

有理数 = 整数 + 分数

整数：正整数、0、负整数
分数：正分数、负分数

分类二：按正负分

有理数 = 正有理数 + 0 + 负有理数

正有理数：正整数、正分数
0：单独一类
负有理数：负整数、负分数

分类三原则

✅ 不重合——每个数只属一个集合

✅ 无遗漏——所有数都要有归属，特别注意0

✅ 标准统一——不能混合两种分类

分类闯关（拖拽练习）

把 3, -1, 0.5, -2/3, 0, -4, 1/2 拖到对应集合：

整数集合

分数集合

0

3 -1 0.5 -2/3 0 -4 1/2

整数：3、-1、-4　分数：0.5、-2/3、1/2　0：单独

📝

例题精讲

先独立思考，再揭晓

例题1 概念辨析——整数与自然数的关系难度：⭐

判断下列说法是否正确：
（1）0是整数。
（2）自然数一定是整数。
（3）整数一定是自然数。

👇 点击每道题的选项作答（全部答完自动揭晓）

（1）0是整数

（2）自然数一定是整数

（3）整数一定是自然数

已答 0/3

答案：（1）✓ （2）✓ （3）✗

（1）0 是整数中单独一类（正整数、0、负整数中的"0"）。
（2）自然数 = 0 和正整数，都是整数。
（3）-1 是整数但不是自然数。

例题2 基础应用——有理数识别难度：⭐⭐

指出下列各数中的正有理数和负有理数：
13, 4.3, -3/8, 8.5%, -30, -12%, -7.5, 20, -60, 1.2循环

👇 把数字拖入对应的集合（拖拽作答）

正有理数

负有理数

13 4.3 -3/8 8.5% -30 -12% -7.5 20 -60 1.2循环

正有理数：13, 4.3, 8.5%, 20, 1.2循环
负有理数：-3/8, -30, -12%, -7.5, -60

先分正负。全部是整数或可化分数，都是有理数。
再看正整数：13, 20；负整数：-30, -60。

例题3 进阶应用——集合填充分类难度：⭐⭐

把下列各数填入相应集合（拖拽作答）：
15, -19, -5, 7, 0.5, -80, 1/2, -4.2, 2.3

正有理数集合

负有理数集合

15 -19 -5 7 0.5 -80 1/2 -4.2 2.3

正有理数：15, 7, 0.5, 1/2, 2.3　负有理数：-19, -5, -80, -4.2

例题4 挑战提升——双维度分类难度：⭐⭐⭐

把下列各数分别填入"整数集合"和"分数集合"（拖拽作答）：
21, -2, 3, 0, 0.6, -2.5, 5.2, -300%, -8

💡 提示：-300% 要化简后再判断哦！

整数集合

分数集合

21 -2 3 0 0.6 -2.5 5.2 -300% -8

整数：21, -2, 3, 0, -300%, -8　分数：0.6, -2.5, 5.2

-300% = -3/1 = -3，是负整数，属于整数集合！

⚠️

易错警示

避开这些坑，考试不丢分

❌ "0不是有理数"

✅ 正确：0 = 0/1，是有理数！

❌ "所有小数都是有理数"

✅ 无限不循环小数（如 π）不能化分数！

❌ "有理数分正有理数和负有理数"

✅ 漏了0！正确：正有理数 + 0 + 负有理数

❌ "0是正整数"

✅ 0是整数，但非正非负！

🔍

PBL项目探究

📋 项目情境：数学侦探的账单之谜

小明帮爸爸整理银行账单，发现这些记录：

存入：+3500 元（工资）、+800 元（奖金）
支出：-1200 元（房租）、-350 元（水电费）

请你用今天学的有理数知识，完成三个侦探任务！

🎯 任务一：分类专家

把这四个数填入分类表（先想再点开）：

按定义分	按符号分
整数：？	正有理数：？
分数：？	零：？
	负有理数：？

🎯 任务二：计算小达人

账单最终余额是多少元？用正负数表示。

🎯 任务三：思维导图绘制者

画出「有理数家族」完整分支图，包括：

正有理数（正整数 + 正分数）
零（特殊成员）
负有理数（负整数 + 负分数）

检查：是否完整？零在哪？有没有遗漏？

有理数
├── 正有理数
│   ├── 正整数（+1, +2, +3…）
│   └── 正分数（+1/2, +0.3…）
├── 零
└── 负有理数
    ├── 负整数（-1, -2, -3…）
    └── 负分数（-1/2, -0.3…）

🎯 项目总结：分类要完整，不重也不漏。零是特殊成员，既不是正也不是负。计算时正负相抵，留心符号！

📊

知识总结

知识点	内容
整数	正整数、0、负整数
分数	正分数和负分数
有理数	可写成分数形式的数
按定义分类	有理数 = 整数 + 分数
按正负分类	正有理数 + 0 + 负有理数
分类三原则	不重合、无遗漏、标准统一
小数分数	有限小数和循环小数可化分数
0的身份	整数、有理数，非正非负

有理数家族三成员：整数、分数、0
分类标准有两个：定义分类、正负分类

✏️

练习巩固

练习1 · 有理数识别（多选）

点击数字选中你认为是有理数的（可多选）：

-5 0 3.14 π 1/7 -0.3循环

有理数：-5、0、3.14、1/7、-0.3循环
π 是无限不循环小数，不是有理数。

练习2 · 分类填空（先作答）

把 -15, +6, -2, -0.4循环, 1, 3/5, 0, 0.63 分类：

正有理数集合：{ …}

负有理数集合：{ …}

正有理数：+6, 1, 3/5, 0.63　负有理数：-15, -2, -0.4循环
注意：0既不是正数也不是负数，不属于这两个集合。

练习3 · 综合计数（先作答）

在 -1/2, 4/7, 19%, 50, -3.1循环2循环, -11, -5%, 6.3, 2022 中：

正有理数有个
其中正整数有个

正有理数5个（4/7, 19%, 50, 6.3, 2022）
正整数2个（50, 2022）

🎯

课程收获

今天的学习感觉如何？

本课核心收获

理解了整数、分数、有理数的概念与关系

掌握了有理数的两种分类方法

记住了分类三原则

认识了 0 的特殊身份

下期预告

1.2.2 有理数的加减
加法法则、减法法则、运算律